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L'énigme des 100 chapeaux

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L'énigme des 100 chapeaux
petrle 11 décembre 2018 à 21:12

Bonjour,

C'est moi qui propose une énigme aujourd'hui:

On annonce à 100 prisonniers que demain ils vont êtres mis à la queue-leu-leu et qu'on leur mettra un chapeau chacun sur la tête, soit blanc, soit noir. Un bourreau commencera alors par le dernier (celui qui n'a personne derierre lui) et lui demandera la couleur de son chapeau. Si il répond juste, il sera gracié. Sinon... (oh lala !)
Chaque prisonnier verra tous les chapeaux qui sont devant lui, et entendra les réponse de tout le monde, même derriere lui.

Ils ont une nuit pour préparer une stratégie, selon vous combien de prisonniers peut on sauver au maximum ? Et quelle est la stratégie optimale ?

LibertEchEriele 14 décembre 2018 à 21:30

Suivant la stratégie de la confiance, je dirais 100, à condition que le premier interrogé ait de la chance et qu'il énonce, comme réponse, la couleur du chapeau de celui placé devant lui, et ainsi de suite. Mais, même si tous coopèrent, le premier ne pouvant compter que sur sa chance, il risque de perdre la vie. S'il énonce bien la réelle couleur du chapeau de celui qui le précède, lui sauvant donc la vie, il instaure la confiance et il y a de fortes chances pour que tous les autres "jouent" le jeu. A moins qu'il y ait des psychopathes dans la file. Mais ça me paraît trop simple comme solution...

Aurelle 14 décembre 2018 à 22:05

Le souci c'est que chaque prisonnier devrait donner la couleur correspondant à la survie potentielle du suivant, mais avec 1 chance sur 2 pour que ce soit la même que lui. Ou alors, effectivement, le dernier de la file commence ainsi, et l'avant-dernier répète ce qu'il a dit : il a alors la vie sauve, le dernier ayant 50% de chance de survie (si 50 chapeaux noirs et 50 chapeaux blancs). Et l'antépénultième recommence. On sauve alors 50 prisonniers avec certitude.

Quelle est la distribution des chapeaux ?
S'ils étaient tous de la même couleur, ça aiderait... ^^
50 blancs et 50 noirs ? Distribution inconnue ? Les prisonniers la connaissent-ils ?

LibertEchEriele 14 décembre 2018 à 23:01

ouais, effectivement. On n'est même pas sûrs d'en sauver 50 si la répartition est complètement aléatoire.. Mais surtout oui, combien de chapeaux de chaque couleur? En tous cas, ce manque d'infos m'a bien fait penser n'importe quoi. Mais si c'est 50/50, y'a plus qu'à compter ceux qu'il reste devant et ceux qui ont déjà parlé, à la vie ou à la mort.. Enfin, y'a plus qu'à, facile à dire. Balaise celui qui en serait capable, le fusil sur la tempe

LibertEchEriele 14 décembre 2018 à 23:24

Le dernier de la file donne la couleur du premier, l'avant-dernier celle du deuxième, et ainsi de suite. On est sûrs d'en sauver 50, non?

myselfle 15 décembre 2018 à 16:33

Je vais sortir des maths pour ma "contribution"...mais fonctionner comme ça c'est admettre que ceux qui le jour cette cérémonie du chapeau fatal vont se retrouver les 50 derniers ont tranquillement accepter que leur mort allait maintenant survenir et dans un dernier élan n'auront à coeur que de sauver les cinquante premiers, et résisteront à leur instinct de survie pour tenter une réponse même au hasard. Evidemment, ça n'est pas impossible. Mais sur cinquante personnes, la probabilité me paraît faible.
L'intuition dit qu'il y a sûrement possibilité de faire 99 ou cents...mais elle m'a pas dit comment 😬

petrle 17 décembre 2018 à 00:06

Haha Myself une intuition hors bornes ! Je ne donnerais pas la solution, mais la réponse à la première de mes questions, tu l'as bien énoncée :)

petrle 17 décembre 2018 à 00:10

Et je précise, s'il vous plait ne faites pas intevenir la chance dans vos réponses, la solution attendue n'étant pas stochastique, c'est une réponse déterministe ! On ne cherche pas un résultat "en moyenne" mais bien un résultat qui vaut pour toute distribution des chapeaux.

J'en profite pour préciser que le nombre de chapeaux blancs et de chapeaux noirs n'est pas connu, ils pourraient etre tous blancs...

Aluminele 17 décembre 2018 à 13:08

Chaque personne pourrait avant toute chose dire à celle qu'elle a devant elle de quelle couleur est son chapeau. Ainsi seul celui qui est tout derrière aurait une chance sur deux de mourir.
Sinon ils pourraient se faire passer un miroir, et ainsi personne ne mourrait. Ou simplement enlever leur chapeau pour regarder sa couleur.

Je connaissais une version de cette énigme avec seulement 3 prisonniers et 5 chapeaux (trois blancs et deux noirs) visiblement la logique est différente ici.

Et sinon ils pourraient s'aligner de façon à former un cercle, ainsi chacun aurait quelqu'un derrière lui pour lui donner la couleur de son chapeau !

petrle 23 décembre 2018 à 12:11

Alors, comment dire... Arrètes de tricher @Alumine :p

- les prisonniers ont les mains liées dans leur dos (ils ne peuvent pas enlever le chapeau)
- ils ont pas de mirroir, hé c'est une prison, pas un salon de beauté !
- les prisonniers n'ont le droit de s'exprimer qu'une fois chacun

Du coup la technique ou chaque prisonnier dit à celui devant lui la couleur de son chapeau: chaque prisonnier a une chance sur deux de mourir, sauf celui qui est tout devant, du coup on sauve à coup sûr 1 prisonnier.

Pour donner un indice, on peut sauver à coup sûr 99 prisonniers :)

LibertEchEriele 23 décembre 2018 à 22:23

Oui mais on est d'accord que pour sauver 99 prisonniers, il faut que tous puissent compter les uns sur les autres? Si c'est le cas, le 1er prend le risque mais, lorsqu'il énonce sa réponse, il ajoute, par exemple un toussotement si sa réponse correspond aussi à la couleur du chapeau de devant. Ou une intonation aiguë, ou grave... Et inversement si celui de devant doit donner l'autre couleur comme réponse

patrickle 28 décembre 2018 à 09:32

si la répartition entre blanc et noir est connue, alors ils peuvent tout se sauver. le dernier voyant l'ensemble des chapeaux utilisés par ses congénères et déduit la couleur du sien. l'avant-dernier de par ses congénère devant et la citation de ceux derrière.
si la répartition n'est pas connue. pour le dernier de la file (et donc le premier à rencontrer le bourreau), il a intérêt à dire la couleur qu'il voit le plus devant lui, puisqu'en terme de probabilité, c'est ce qu'il le plus de chance d'avoir.
le deuxième fait pareil en regardant les chapeaux devant lui et en tenant compte du résultat de celui derrière. le n-eme fait pareil jusqu'au centième.
a mon avis, il devrait y avoir moyen d'exploiter le fait que n-1-eme s'est trompé dans son choix ou non mais il faudrait une petite réflexion.

petrle 28 décembre 2018 à 22:21

Alors voyons, non la répartition n'est pas connue, et tu va dans la bonne direction patrick ! par contre, en terme de probabilités il n'y a aucune raison que son chapeau ait plus de chance de faire partie de la classe dominante que de la classe dominée :)
Mais tu as la réponse au bout des doigts !!

Didier54le 29 décembre 2018 à 10:43

Peut-être suffit-il d'attendre que le soleil frappe sur les chapeaux, suivant la chaleur sous le chapeau, on peut dire s'il est blanc ou noir...avant cela, il faut que les prisonniers se tondent la tête pour mieux sentir la chaleur.

Didier54le 29 décembre 2018 à 11:13

Sinon, le dernier annonce le nombre de chapeaux noirs devant lui si celui devant lui est noir ou le nombre de chapeaux blancs devant lui si celui devant lui est blanc. A partir de là tout les autres connaissent la repartition des chapeaux, il suffit d'en déduire le nombre de chapeau restant blancs et noirs pour savoir quel chapeau ils ont...

patrickle 31 décembre 2018 à 18:12

je n'oublie pas, il faudrait juste le temps que je jette les idées sur une feuille pour les trier car je sens que je suis proche.
l'idée de base est que le premier annonce la couleur qui voit le plus. décidons arbitrairement blanc. il a une 1/2 chance de survie

pour le deuxième :
- soit il voit devant lui 49 blancs et 49 noir -> son chapeau est blanc, il survit
- soit il voit >=50 blancs et <=48 noir -> il doit tenter au hasard-> il vaut mieux qu'il annonce la couleur qu'il voit le plus.

- pour le troisème
-il y a devant lui + le chapeau du deuxième
- 48+1 blancs et 49 noirs -> son chapeau est blanc (grace à l'annonce du premier) il survit
-49+1 blanc et 48 noirs -> il doit tenter au hasard, il vaut mieux qu'il annonce la couleur

et ainsi de suite...


pour le troisième :
- soit il voit 48 blancs et 49 noirs : son chapeau est blanc (sinon le 1er et le 2eme n'aurait pas annoncé blanc)
- soit il voit 49 blancs et 48 noirs :

patrickle 31 décembre 2018 à 18:15

sinon, je peux demander à ma soeur qui est prof de stat pour qu'elle mette une équipe de recherche (ou à mon tonton qui est dictateur quelque part en amérique du sud pour qu'il étudie le cas en pratique)

petrle 31 décembre 2018 à 20:54

Hahaha, tu peux aussi donner la langue au chat !

Allez un petit indice pour le nouvel an !

Pensez qu'il y a deux types de chapeaux, on peut penser le pb en binaire...

patrickle 01 janvier 2019 à 11:27

non non, je trouverai. il me faut juste une bonne heure (peut-être quelques ) au calme avec une feuille pour mettre un peu de formalisme dans mes idées.

LibertEchEriele 01 janvier 2019 à 13:23

C'est un truc du style le noir reflète le blanc ou inversement..

petrle 05 janvier 2019 à 12:02

Non libertécherie c'est pas une enigme toute pourrie où l'on apprend, en meme temps que la réponse, qu'il y avait un truc auquel on aurait jamais pensé qui rend la solution toute nulle et frustrante.

Didier54le 05 janvier 2019 à 12:58

Petr, dans la vraie vie, c'est souvent les choses les plus simples et pourries qui marchent le mieux! 😜

petrle 05 janvier 2019 à 13:11

Oui c'est vrai Didier :p c'est pas dans ce sens là que je l'entendais, il y a juste une categorie d'enigmes où la solution est un truc tiré par les cheveux genre "si il voit son chapeau dans le chapeau du mec devant lui, alors c'est qu'il est de couleur contraire" enfin je me comprends, j'aime pas ce genre d'énigmes.

patrickle 15 janvier 2019 à 12:29

repartons sur l'idée de myself dans le chapitre sur la bière et les toilette en cherchant un truc simple. le problème dit qu'on doit annoncer la couleur de son chapeau, on ne dit pas qu'il doit dire 'noir' ou blanc'.
donc, les prisionniers fixe un code couleur à chaque nombre de chapeaux blanc que le premier voit.

par exemple :
- il voit 99 chapeaux blanc : il dit blanc
- il voit 98 chapeaux blanc : il dit blanc pale
-...
-il voit 85 chapeaux blanc : il dit beige
-...
- il voit 0 chapeaux blanc : il doit noir

(on pourrait même simplifier en utilise le code RAL. il voit 47 chapeaux blanc, il dit RAL1047)

ainsi, le deuxième sait sur les 99 derniers chapeaux, combien il y a de chapeaux blanc et combien de chapeau noir, il voit les 98 derniers, il en déduit sa couleur. idem pour le 98eme....

on en sauve 99, qui devront bien au premier de lui construire une statue à son image.

petrle 16 janvier 2019 à 00:06

C'est l'idée mais pourquoi pas se restreindre à {blanc, noir} et exploiter l'information que le 99eme a sur le chapeau du dernier (il entend sa réponse et sait si il s'est trompé) :)

petrle 16 janvier 2019 à 01:13

Allez si demain soir on a pas trouvé la réponse (et on est vraiment à deux doigts) je poste la solution parceque je ne me retiens plus :)

petrle 16 janvier 2019 à 01:17

En soi Patrick, en situation réelle ta solution marche carrément en fait, personne ne pourra l'empêcher de dire ça ! a moins qu'il oublie les 99 nuances codées, ce que je m'empresserais de faire à sa place...

Il y a vraiment une solution plus simple qui nécessite seulement "blanc" et "noir"

Didier54le 16 janvier 2019 à 01:45

Est-ce que ce n'est pas un truc du genre
: Le dernier annonce blanc s'il voit un nombre impair de chapeaux blancs ou annonce noir s'il voit un chiffre impair de chapeaux noirs.
Ainsi le suivant peut en déduire son chapeau en fonction du nombre pair ou impair de chapeau blanc ou noir et ainsi de suite...

petrle 16 janvier 2019 à 21:05

Exactement ! :) pas besoin de compliquer la solution en simolifiant le problème !
Bravo ! En général plus on restreint le cadre d'un problème, plus la solution est simple

patrickle 16 janvier 2019 à 23:23

ouaip. bien joué

Aluminele 24 janvier 2019 à 22:11

Oh j'avais oublié que les chiffres peuvent être pairs ou impairs


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