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L'axiome du choix, l'inclure ou pas dans ZF, un choix controversé ?

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L'axiome du choix, l'inclure ou pas dans ZF, un choix controversé ?
Gaelle 20 juin 2022 à 01:08

Bonsoir. Pour un premier post, je me faisais récemment une réflexion. La plupart des gens n'aiment pas trop l'axiome du choix en mathématiques. Il est remarquable de constater que les néophytes rejettent l'axiome du choix, mais sans trop savoir pour quelle(s) raison(s) - probablement parce qu'on leur a dit que "ce n'était pas bien", ou encore que "cela ne faisait pas l'unanimité parmi les mathématiciens".

Quant aux spécialistes, la réponse est à peu près claire et unanime : utiliser l'axiome du choix c'est renoncer à la manière dont sont construits les objets mathématiques utilisant dans leur construction l'axiome du choix. Autrement dit, l'objet existera, mais sans qu'on ne puisse l'expliciter, ce qui gène la plupart des mathématiciens.

Donnons un exemple concret. Un théorème dont la démonstration nécessite l'axiome du choix est le suivant (théorème de Zermelo) : tout ensemble E est munissable d'un bon ordre. Un bon ordre, c'est une relation que je vais noter <= et qui vérifie sur E les axiomes suivants :
- "<=" est réflexive : pour tout x de E, on a x<=x
- "<=" est antisymétrique : si x et y de E sont tels que x<=y et y<=x, alors on a x=y
- "<=" est transitive : si x, y, z de E sont tels que x<=y et y<=z, alors on a nécessairement x<=z
- "<=" est un "bon ordre" : autrement dit si A est un sous-ensemble de E non vide, alors A possède un plus petit élément, autrement dit il existe a de A tel que pour tout x de A, on a : a<=x

(NB : en fait le théorème de Zermelo est équivalent à l'axiome du choix dans ZF)

Il n'est nullement évident que l'on puisse construire sur tout ensemble E aussi biscornu soit-il une relation de bon ordre. Par exemple, dans R (l'ensemble des réels), si l'on prend la relation d'ordre habituelle, alors ce n'est pas un bon ordre (il suffit de considérer une partie non vide non minorée de R, ou encore de considérer le segment ouvert ]0,1] pour s'en convaincre). Pourtant, le théorème de Zermelo affirme l'existence d'un bon ordre sur R.

Autre exemple : tout espace vectoriel possède une base, autrement dit une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice. En dimension finie, on peut le démontrer par récurrence, dans utiliser l'axiome du choix (rappel : un espace vectoriel de dimension fini est un espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs). Mais quid en dimension infinie ? Là encore, pour montrer le théorème en dimension infinie, il faut faire appel à l'axiome du choix. Mais alors il existe des espaces vectoriels (de dimension infinie) dont on sait qu'ils possèdent des bases (de par le théorème, conséquence de l'axiome du choix), sans pouvoir exhiber une telle base. C'est le cas par exemple des fonctions continues de R dans R ; c'est un espace vectoriel, de dimension infinie, mais il n'existe pas a priori de procédure pour en construire une base.

Il existe ainsi plein d'exemples. Doit-on pour autant rejeter l'utilisation de l'axiome du choix ?

Eh bien... la question n'est pas si simple. En effet, il existe de nombreux théorèmes en mathématiques (et plus particulièrement en topologie) qui nécessitent l'axiome du choix pour être démontrés. Voici un exemple. Dans R (muni de la topologie de l'ordre), si A est un sous-ensemble de E, alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(1) A est compact (au sens de Borel-Lebesgue, autrement dit de tout recouvrement de A par des ouverts de la topologie induite sur A on peut extraire un sous-recouvrement fini)
(2) de toute suite de A on peut en extraire une sous-suite convergente

Il se trouve que (1)->(2) sans l'axiome du choix ; en revanche la démonstration de (2)->(1) nécessite l'utilisation de l'axiome du choix. Ainsi, lorsque l'on souhaite s'assurer que A est compact en utilisant le critère des suites extraites convergentes, on fait appel implicitement à l'axiome du choix - et il faut en être je pense conscient.

Prenons un autre exemple, peut-être plus frappant. Si E est un espace topologique séparé (axiome T2 de Hausdorff), et si F est un sous-ensemble de E, on dispose du résultat suivant :

"F est un fermé de E si et seulement si toute suite de F convergente dans E a pour point de convergence un point de F"

Bien souvent, les mathématiciens utilisent ce critère pour pouvoir caractériser un fermé (ce que l'on appelle la caractérisation séquentielle). Pourtant la démonstration de l'équivalence nécessite l'axiome du choix...

Au final, se priver de l'axiome du choix, ou plutôt ne pas l'inclure dans ZF restreint alors les théorèmes que l'on peut utiliser, ce qui est quelque part dommage.

Pour terminer j'émets deux remarques :
1) Si ZF est non contradictoire alors ZFC et ZF+non C sont non contradictoires - ainsi l'axiome du choix ne va pas fournir de "bugs" ou de propositions à la fois vraies et fausses, du moment que ZF est non contradictoire
2) Les démonstrations de classes post bacs font parfois intervenir dans leurs démonstrations l'axiome du choix sans le dire ; personnellement je trouve cela dommage que les enseignants ne pointent pas du doigt ces utilisations cachées de l'axiome du choix - probablement parce que la plupart des enseignants ne sont même pas conscients qu'ils utilisent implicitement dnas telle ou telle démonstration l'axiome du choix.

...alors, et vous ???
- pour l'axiome du choix, et avoir plein de théorèmes facilitant les démonstrations, sans toutefois pouvoir construire explicitement des solutions ???
- ...ou contre l'axiome du choix, et plutôt se ranger auprès des mathématiciens constructivistes, quitte à renoncer à l'utilisation de certains théorèmes bien pratiques ?

Magda72le 20 juin 2022 à 08:26  •   82724

Sans être de ce niveau de mathématiques, l´axiome de choix me parle pour mes réflexions à moi et le peu que j´en connaisse, je suis fascinée par la topologie, de plus et depuis toujours, j´utilise les vecteurs dans ma pensée habituelle, donc merci et je vais approfondir tant que je le puisse dans mes limites à moi (moi, c´est plus la chimie, ensuite la physique). Merci! 🙂

Kobayashile 22 juin 2022 à 22:42  •   82789

Hum, j'ai effectivement toujours trouvé l'enseignement des mathématiques en France quelque peu contre-productif. En gros on essaie d'expliquer les "Principia mathematica" sans suivre le parcours historique et logique de ses créateurs. On coupe toute la créativité des jeunes cerveaux sans aucun préambule.

@Gael, c'est ton sujet de thèse ? 😜

L'axiome du choix coince sur l'ontologie mathématique. Il est hors système car les math se coupent de tout référentiel humanisant. On peut dire qu'il est réduit à cet axiome du choix, seule porte ouverte sur le monde extérieur.

C'est aussi la carte joker, le symbole "inconnu" où l'intuition s'exprime, voire les croyances.

C'est justement l'enjeu des Principia mathematica, avoir une carte du monde connu (des mathématiques) afin de délmiter les espaces inconnus. De nos jours, nous avons été tellement loin que nous avons perdu le Neo Principia mathematica. Est-il seulement possible ?

L'ontologie rejoint assez rapidement l'usage, le "à quoi ça sert" ? Je crois qu'une part de plus en plus importante de la production scientifique vise essentiellement à prouver son existence et son utilité, avec un espoir que le résultat serve un jour.

Ca donne quoi quand on passe tout ça dans un (méta)démonstrateur automatique ?

Gaelle 22 juin 2022 à 23:09  •   82791

Ben concrètement, ça donne une preuve de l'existence de choses, sans toutefois la possibilité d'exhiber la chose existante.
Ça peut je pense se révéler pratique, dans certains cas. Il est difficile d'aller bien loin en topologie et plus particulièrement dans la théorie des compacts par exemple sans l'axiome du choix - ou l'une de ses formes amoindries.
L'axiome du choix ni son contraire laissant ZF cohérent pourvu que ZF (avec l'axiome de l'infini) soit non contradictoire de base il n'y a pas, a priori, de restriction sur le plan « éthique mathématique » à l'utiliser.

Pour prendre un exemple, l'axiome 5 des éléments d'Euclide est bien un axiome en ce sens que ni l'axiome visant à dire qu'à partir d'une droite et d'un point, on ne peut mener qu'une parallèle et une seule à la droite et passant par le point, ni le contraire de cet axiome sont contradictoires (il existe un modèle si l'on accepte l'axiome d'Euclide, i.e. la géométrie euclidienne ; et il existe aussi un modèle si on accepte le contraire de l'axiome d'Euclide, i.e. la géométrie de Lobatchevski par exemple ou encore la géométrie riemanienne).

En ce sens, on obtient ainsi potentiellement des résultats plus riches en incluant certains axiomes. Il en est de même pour l'axiome du choix.

La question est donc plutôt : qu'attendons-nous vraiment des mathématiques ? Est-ce qu'on en attend des résultats ayant pour origines des objets qu'on ne sait construire ? Ou bien attendons-nous des mathématiques qu'elles puissent être forcément appliquées - par exemple dans divers domaines scientifiques - ce qui implique a priori qu'il faille disposer à coup sûr d'objets constructibles.

Pour aller plus loin dans le propos : certains objets n'ont pas besoin de l'axiome du choix, comme par exemple l'ensemble des nombres réels. Ils sont donc constructibles (par exemple : à l'aide des coupures de Dedekind, des hyperréels ou encore en voyant un nombre réel comme une classe d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels) ; on peut même d'ailleurs en passant montrer l'existence et l'unicité (à isomorphisme de corps près) d'un corps qui soit totalement ordonné, archimédien et complet - ce corps unique n'étant autre que R (donc il s'agit de la solution à un problème universel formulable dans la théorie des catégories et des foncteurs). Pourtant, peut-on nommer tous les nombres réels ? Peut-on les compter ? Peut-on les ordonner ? Comment les décrire individuellement ? Chacun de ses problèmes tire sa solution de l'utilisation de l'axiome du choix ou non. Cela n'en reste pas moins des questions pertinentes que l'on peut se poser sur le corps des nombres réels.


@Magda72 Bonsoir. Entendu, je te laisse le soin de te renseigner, si tu le souhaites je peux te diriger vers dess contenus Youtube sur le sujet, pédagogiquement intéressants sans toutefois poser une barrière - celle de la langue mathématique. 🙂

Kobayashile 24 juin 2022 à 16:44  •   82835

@Gael, bon, je lache le terme, quantique. Les différents concepts et théories que tu cites m'évoquent un lien avec un monde quantique, où l'on a la capacité de faire tous les calculs que l'on veut.
Justement, je pense qu'une topologie quantique sera nécessaire et cela va mettre en exergue des théories mathématiques jusque là non utilisées.
Tente de voir l'axiome du choix dans un calcul quantique, enfin, plutôt l'inverse.

Gaelle 24 juin 2022 à 18:01  •   82836

Bonsoir @Kobayashi - euh, comment dire ? Je suis physicien théoricien à la base. Entre autre, j'ai étudié - et étudie en loisirs (comprendre pas mon activité professionnelle) la mécanique quantique...

En mécanique quantique, on est loin de pouvoir faire tous les calculs que l'on veut - il y a un cadre - par exemple celui des espaces de Hilbert, ou encore celui des triplets de Guelfand - il y en d'autres enccore mais peu définies rigoureusement mathématiquement (comme par exemple le formalisme de Feynman des intégrales de chemin, utilisées en théorie quantique (relativiste des champs - en particulier utile pour les théories basées sur des algèbres de Lie non commutatives)).
La (les) mécanique(s) quantique(s) utilise(nt) déjà la topologie, ne serait-ce (cas des espaces de Hilbert) que pour donner un sens de la projection d'un état sur un état de base.
L'axiome du choix dans un calcul quantique... peut-être, certes - et c'est déjà utilisé implicitement par certains théorèmes d'algèbre linéaire sur les espaces vectoriels de dimension infini...
...du coup je ne comprends pas trop le "Tente de voir l'axiome du choix dans un calcul quantique, enfin, plutôt l'inverse.", un peu "flou" à mon goût - sans vouloir être offensant.

Cordialement,

Kobayashile 24 juin 2022 à 22:37  •   82839

@Gael, oui, quelques mots sont un peu cours pour manier tout ça. Mon idée était plutôt une extension quantique du type passage de la transformée de fourrier "classique" à la transformée fourrier quantique.
Lorsque nous aurons plusieurs dizaines, ou centaines d'ordinateurs quantiques, la synchronisation des calculs va être hyper complexe. Ce que l'on appelle réseaux quantiques actuellement reste une transposition du besoin actuel, par exemple chiffrage quantique, sur une technologie quantique. Le réseau vraiment quantique utilisera de manière générale les propriétés quantiques, par simplement pour faire un oracle.
Comme il sera impossible de stocker tous les résultats des calculs quantiques, le besoin d'un échange massif de données sera nécessaire. Pour orchestrer tout ça, un modèle de topologie quantique est nécessaire.
Et oui, certainement cela utilisera encore les espaces de Hilbert, mais ça ne suffira pas. Il y a de la place pour toutes propositions en la matière !

Gloomycetolle 25 juin 2022 à 04:00  •   82851

Bonjour à tous !

C'est possible de faire des statistiques sans l'axiome du choix ???

A moins d'une information parfaite, je ne vois pas comment...

L'information incomplète est-elle une erreur mathématique ?



A noter qu'on peut sélectionner 2 élements, les comparer et remettre 1 des 2 dans l'ensemble (sans l'axiome du choix).

Pour pouvoir rejeter l'axiome du choix, le monde devrait être 1. FINI et 2. NON INDIFFERENCIABLE, sinon l'information parfaite est impossible.

En résumé : peut-on toujours diviser par 2 ? Si oui, alors l'axiome du choix est nécessaire. (VS constante de Planck)

(Pas un expert, excusez et oubliez si mon intervention est nulle.)

Gaelle 26 juin 2022 à 20:36  •   82918

@Kobayashi - je suis vraimetn navré, je n'ai pas compris le propos, ni là où il est question de l'axiome du choix dans le propos tenu...

@Gloomycetol : oui, on peut très bien faire des statistiques sans l'axiome du choix - à moins que je ne fasse erreur, les statistiques ont besoin principalement d'une notion de mesure (cf la théorie de Lebesgue), qui n'a (je crois - à vérifier) pas besoin de l'axiome du choix pour fonctionner (il y a juste quelques résultats sur la théorie des espaces mesurés qui utilisent l'axiome du choix pour être démontré, mais les conséquences ne servent pas à faire des calculs en théorie de la mesure, donc on est sauvé de ce côté).

"L'information incomplète est-elle une erreur mathématique ?" : dans un sens statistique, je dirais que non - sinon des théories comme la théorie de Bayes ne serviraient à rien.

"A noter qu'on peut sélectionner 2 élements, les comparer et remettre 1 des 2 dans l'ensemble (sans l'axiome du choix)." : non pas toujours possible. C'est bien pour cela qu'on introduit l'axiome du choix (évidement : si l'ensemble d'ensembles contenant des paires d'éléments est fini, là par contre, aucun souci pour faire un choix d'un élément parmi les paires - démonstration ok par récurrence).

"Pour pouvoir rejeter l'axiome du choix, le monde devrait être 1. FINI et 2. NON INDIFFERENCIABLE, sinon l'information parfaite est impossible." : L'axiome du choix n'est ni vrai, ni faux. Le prendre mène à une théorie. Le rejeter mène à une autre théorie. Vous êtes en train de dire que si l'on admet que l'axiome du choix est faux, alors les modèles ensemblistes sont finis et non différentiables (pourquoi au juste non différentiables ? il y a plein de théories mathématiques basés sur les axiomes de la théorie des ensembles qui n'étudient pas cette notion...). Autrement dit, par contraposée, vous soutenez qu'une théorie non finie (i.e. infinie) mène alors à accepter l'axiome du choix. Pourtant, on peut très bien considérer la théorie des ensembles finies + l'axiome de l'infinie (énoncé comme "il existe un ordinal infini) + le contraire de l'axiome du choix, et avoir une théorie non contradictoire (c'est l'un des fameux résultats de Gödel).

"En résumé : peut-on toujours diviser par 2 ? Si oui, alors l'axiome du choix est nécessaire. (VS constante de Planck)" : j'imagine que vous entendez "diviser par 2" dans le sens tirer un élément parmi un ensemble de paires infinies. Je n'ai pas fait la démonstration de cette affirmation disant qu'alors, il est nécessaire que l'axiome du choix soit vrai, mais il semblerait a priori logique que ce que vous énoncez ici soit vrai - (et si ça n'est pas nécessaire d'avoir l'axiome du choix, alors au moins une de ses formes amoindries). VS constante de Planck - faudra préciser parce que pour moi là ça semble hors sujet.

Cordialement,


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